四色地圖繪製方式

在圖論（graph theory）與地圖學（cartography）中，「四色定理（Four Color Theorem）」與「五色定理（Five Color Theorem）」是兩項經典的重要命題。四色定理指出，任意一張平面地圖，只需使用四種顏色，就能保證所有相鄰區域都不會使用相同顏色，是1852年由數學家賈斯禮（Francis Guthrie）首次提出四色定理的猜想，雖然從地圖設計的實務上確實能僅用四種顏色就把地圖著色，且相鄰不同色，但一直與無法用數學方式證明它，直到 1976 年由 Appel 與 Haken 借助電腦演算法輔助（暴力窮舉法）成功證明，成為數學史上首例以電腦完成的證明之一。

四色地圖的案例

在四色定理尚未被正式證明前，數學家 Heawood 於 1890 年提出了較為保守但易於證明的五色定理，主張任意平面圖最多使用五種顏色也可避免相鄰區域顏色重複。五色定理雖非最精簡解法，卻在地圖設計實務上提供了一項重要保證，特別適用於複雜地圖或圖層自動著色演算法中。

目前在QGIS 3.x版中內建有拓撲著色（Topological coloring）功能，但因演算法設計需求而採用最多五色完成著色任務，即使理論上四色已經足夠，以下為簡要操作說明：

  1. Processing -> Toolbox 搜尋 Topological coloring 功能

2.指定一個多邊形向量圖層（例如行政區劃），以及最少使用顏色數量，演算法就會自動分類（在屬性資料表新增一個color_id欄位，並給予不同的分類代號）。

3.程式將建立一個新圖層，新增一個名為 color_id 的欄位，但顏色仍與原圖層相同；接著，編輯這個新圖層的圖層屬性，進入「圖徵（Symbology）」分頁進行細部設定：

  • 在最上方選擇「分類式（Categorized）」樣式。
  • 將分類欄位設為 color_id。
  • 點擊「分類（Classify）」按鈕，以建立分類並自動指派對應顏色。
  • 修改個別分類（代號）的顏色。
臺北四色地圖

4.同樣操作也可以運用到臺灣縣市行政區域圖。

臺灣四色地圖

5.受限於演算法因素，拓撲著色（Topological coloring）功能，針對比較複雜的多邊形（存在 MultiPolygon幾何、飛地等情況），最終分類（顏色）數量可能會大於4，成為五色或六色地圖。

臺灣六色地圖

6.如果可以接受少量的相鄰多邊形有相同顏色情況，可以利用ChatGPT可以產生Python 程式，用來自動為多邊形圖層加上「四色理論」分類欄位，限制只用 4 色完成配色：

  • 依據圖形間的接觸關係（例如鄰接的鄉鎮）建立一個鄰接圖。
  • 從圖層中心位置（如中央山脈）開始進行顏色分配，往外擴散，有助於減少顏色衝突。
  • 每個多邊形會被分配一個 color_id 整數欄位（值為 1~4），盡可能確保相鄰的多邊形不會有相同顏色。
  • 程式使用了 NetworkX 處理拓撲關係，運算快速、穩定，適合上百筆資料的地圖。
import networkx as nx
from qgis.core import (
    QgsProject, QgsField, QgsSpatialIndex, QgsFeature, QgsGeometry, QgsPointXY
)
from PyQt5.QtCore import QVariant

layer = iface.activeLayer()
if not layer or layer.geometryType() != 2:
    raise Exception("請選取一個多邊形圖層")

# 新增 color_id 欄位
layer.startEditing()
if 'color_id' not in [f.name() for f in layer.fields()]:
    layer.dataProvider().addAttributes([QgsField('color_id', QVariant.Int)])
    layer.updateFields()

# 建立要素快取與空間索引
features = {f.id(): f for f in layer.getFeatures()}
index = QgsSpatialIndex()
for feat in features.values():
    index.insertFeature(feat)

# 建立鄰接圖
G = nx.Graph()
for fid, feat in features.items():
    G.add_node(fid)
    neighbor_ids = index.intersects(feat.geometry().boundingBox())
    for nid in neighbor_ids:
        if nid != fid and feat.geometry().touches(features[nid].geometry()):
            G.add_edge(fid, nid)

# 計算圖層中心點
layer_center = layer.extent().center()
center_geom = QgsGeometry.fromPointXY(QgsPointXY(layer_center))

# 根據與中心距離排序
def dist_to_center(feat):
    return feat.geometry().centroid().distance(center_geom)

sorted_nodes = sorted(G.nodes, key=lambda fid: dist_to_center(features[fid]))

# 自行進行貪婪著色（最多使用 4 色）
coloring = {}
for fid in sorted_nodes:
    neighbor_colors = {coloring[n] for n in G.neighbors(fid) if n in coloring}
    for color in range(1, 5):  # 限定四色
        if color not in neighbor_colors:
            coloring[fid] = color
            break

# 寫入 color_id
field_idx = layer.fields().indexFromName('color_id')
for fid, color in coloring.items():
    layer.changeAttributeValue(fid, field_idx, color)

layer.commitChanges()
print(f"完成！已從圖層中心開始排序並套用四色著色，共使用顏色：{max(coloring.values())}")
臺灣四色地圖

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